Ardışık Tek Tam Sayılar Formülü

ardışık tek tam sayılar formülü

Ardışık tek tam sayılar neler? Ardışık tek tam sayıların toplamı nasıl bulunur?

Matematiğin neredeyse tüm konularında olduğu gibi ardışık tek tam sayıların toplamının bulunmasını hususunda da bir formül bulunmaktadır. Peki, ardışık tek tam sayıların toplamının formülü nedir? Ardışık tek tam sayılar nasıl yazılır? İşte tüm detaylar…

Ardışık Sayılar Nedir?

Ardışık tek tam sayılara geçmeden önce ardışık sayıların ne demek olduğunu anlamak daha yerinde olacaktır. Küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe sıralı ve art arda gelen terimleri düzenli ve sabit bir fark kadar artan ya da azalan sayılara ardışık sayılar denir. Bir ardışık sayı dizisinin art arda gelen terimleri arasındaki bu sabit farka ortak fark denir.

Ardışık tam sayılar; ardışık çift tam sayılar ve ardışık tek tam sayılar olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Şimdi gelin bu yazının konusu olan ardışık tek tam sayılar nelerdir sorusuna birlikte cevap arayalım.

Ardışık Tek Tam Sayılar Nelerdir?

Ardışık tek sayılar; art arda sıralanan tek sayılardan oluşlar ve bu sayıların arasındaki ortak fark 2’dir. Ardışık tek tam sayılar n, n+2, n+4, n+6, n+8 şeklinde sembollerle ifade edilmektedir.

Peki, ardışık tek tam sayılar nasıl yazılır? Ardışık tek tam sayılar pozitif yönde 1,3,5,7… n+2 şeklinde ilerlerken; negatif yönde ise -1,-3,-5,-7… n-2 şeklinde ilerlerler.

Örnek:

1, 3, 5, 7, 9, 11, n+2

97, 99, , , … n+2

-1, -3, -5, -9, … n-2

, , , , … n-2

Ardışık Tek Tam Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Konuyla ilgili araştırmalar yapan öğrencilerin ardışık tek tam sayılar hakkında cevabını en çok merak ettiği soru belki de ardışık tek tam sayıların toplamıformülü nedir sorusudur.

Ardışık tek tam sayıların 1 ile başlaması halinde kullanılan formül ise şu şekildedir:

Örnek Soru: 1’den 99’a kadar olan ardışık tek tam sayıların toplamı nedir?

1+3+5+7++99= ?

Çözüm:

İlk olarak n değerini bulmak için formülümüzü yazıyoruz.

2n-1= 99

2n=

n= 50

İkinci aşamada bulduğumuz n’yi kendisiyle çarpıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz.

n * n= ?

50 *50 =

Ardışık Sayılar Toplam Formülleri

Soru: 10+12+14++48+50=?

Terim sayısı: [()/2]+1=21 terim vardır.

Bu terimlerin toplamı: [(50+10)/2]==

Soru: Ardışık 4 çift sayının toplamı, bu sayılardan en büyüğünün 3 katından 20 fazladıwebgrid.co.uk büyük ile en küçüğünün toplamı kaçtır?

sayılarımız ardışık ve çifttir. ilkine a dersek 2şer 2 şer artar.
a,a+2,a+4,a+6
Bu sayıların toplamının en büyüğünün 4 katının 20 fazlası olduğunu söylemiş.

4a+12=(a+6).3+20
4a+12=3a+38
a=26 en küçüğü, a+6 = 32 en büyüğü
26+32=58

Soru: Ardışık 12 sayının toplamı ise en küçük ile en büyüğün toplamı kaçtır?

a,a+1,a+2,a+3,,a+11
Burda 12 tane a vardır ve 1+2+3++11 değeri vardır.

ardışık sayıların toplamı gaus yönteminden n.(n+1)/2 den 11*12/2)=66
12a+66=
12a=
a=21

Soru: Ardışık 2 tek doğal sayının çarpımı ise toplamları kaçtır?

bir sayısı çift bir sayıyla çarparsanız çift olur. öyleyse sayımız n olursa 2n çift olur. 2n'den tek bir sayı çıkarılırsa tek bir sayı oluşur. Öyleyse ilk sayımız (2n-1) olsun. Öteki de ardışığı olduğundan "2n+1" olmalı.
(2n-1).(2n+1)=
4n²-1=
4n²=
n²=49
n=7 olur. sayımızın biri 2n-1=2.(7)-1=13, öteki (2n+1)=15 olur. 15+13=

Soru: 21+25+29++61=?

ardışık bir ifade ve artma miktarı belli : 4
[(son terim-ilk terim)/(artma miktarı)+1].[(son terim+ilk terim)/2]'yi kullanalım.
[()/4+1].[(61+21)/2]==

Ardışık Tek Ve &#;ift Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur? Form&#;l&#; Nedir?

Ardışık Tek Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Ardışık tek sayıların toplamını bulabilmek için belli başlı bir formül bulunmaktadır. Bu formül üzerinden gerekli yerlere eksikler yazıldığı takdirde, kolay bir şekilde sonucu bulmak mümkün. Bu doğrultuda bir örnek üzerinden ele alarak sonucu daha iyi anlamak gerekir;

Örneğin (1 + 3 + 5…n) şeklinde ele alınan tek sayılar toplama, ‘n x (n + 1) / 2 formülü üzerinde çözüme kavuşmaktadır.

Yukarıda verilen formül içerisinde, ‘n’ sayısı tek sayıların toplamını göstermektedir. Ele alınan bu toplam ile beraber kolay bir şekilde sonuca ulaşmak mümkün olur.

Ardışık Çift Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Söz konusu ardışık çift sayılar olduğu vakit ise yine aynı formül üzerinden işlem gerçekleştirilir. Ancak bu defa bazı farklılıklar ön plana çıkmaktadır. Yine bu konuda bir örnek üzerinden durumu daha iyi anlamak mümkün;

Örneğin, (2 + 4 + 6… 2n) şeklinde devam eden sonuç kapsamında öne çıkan formül, ‘n x (n + 1) biçiminde ifade edilmektedir. Ele alınan bu formül ile beraber ardışık çift sayılar kaç tane olursa olsun, hızlı ve kolay bir şekilde sonucu bulmak mümkün.

Ardışık Tek ve Çift Sayıların Toplamı Formülü Nedir?

Matematik üzerinden en çok merak edilen konular arasında ardışık tek ve çift sayıların toplam formülü geliyor. Bu doğrultuda ortak şekilde bir formül öne çıksa dahi, bu formül kapsamında bazı kısımlar üzerinden farklılık yaşanmaktadır. Elbette bu farklılık ardışık tek ve çift sayıların durumuna göre gelişir.

Ardışık tek sayıların toplamı formülü = n x (n+ 1) / 2

Ardışık çift sayıların toplamı formülü = n x (n + 1)

Bu şekilde yukarıda verilen formül ile beraber hem tek hem de çift ardışık sayıların toplamını kolay bir şekilde bulmak mümkün.

Ardışık tek tam sayılar nelerdir, nasıl yazılır? Ardışık tek tam sayıların toplamı nasıl bulunur?

Ardışık tek tam sayılar belirli bir düzen halinde artan ya da azalan sayılara denmektedir ve matematikte sıklıkla kullanılan, sınavlarda ise çoğunlukla öğrencilere sorulan sorulardandır. Ardışık tek tam sayıların toplamı nasıl bulunur? Sorusunu örneklerle birlikte sizin için cevaplandırdık.

ARDIŞIK TEK TAM SAYILAR NELERDİR?

Ardışık tek tam sayılar belirli bir düzen halinde artan sayılardır. Ardışık tek tam sayılarda en önemli şey ritmik olarak artması ve sayıların tek sayılardan oluşmasıdır. Ardışık tek tam sayılar pozitif ya da negatif yönde belli bir kural dahilinde sistemsel şekilde artıp azalabilmektedirler.

ARDIŞIK TEK TAM SAYILARIN TOPLAMI NASIL BULUNUR?

Ardışık tek tam sayıların toplamını bulmak için bir formül bulunmaktadır. Bu formüle göre işlemi uyguladığımızda ardışık tek tam sayıların toplamını bulmamız mümkündür. Ardışık tek tam sayıların toplamı formülü şu şekildedir:

1+3+5+7…+(2n-1) = n*n= n2

şimdi formülü bir örnek ile işleme uyarlayalım:

Soru: 1 ile 99 sayıları arasında olan ardışık tek tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: Bunları 1+3+5+7…+99 şeklinde toplamak çok fazla zaman alacaktır ve gereksiz bir çaba olacaktır. Hemen işlemimizi formüle uyarlayarak yapıyoruz.

ilk adım: 1+3+5+7+…+(2n-1)=n * n

şimdi n sayısının değerini bulmamız gerekiyor.

2n-1= 99
2n=
n sayısı buna göre 50 oluyor.

ikinci adım: n * n = 50x50 demek yani 50x50= Cevabımız

ARDIŞIK TEK TAM SAYILAR NASIL YAZILIR

Ardışık tek tam sayılar pozitif yönde 1,3,5,7,9 şeklinde n+2 şeklinde ilerlerken negatif yönde ise -1, -3, -5, -7, ve -9 şeklinde ilerler ve n-2 formülündedirler.

Ardışık Tek Sayıların Toplamı ve Örnek Soru Çözümleri

Ardışık Tek Sayıların Toplamı ilkokul dönemlerinden beri karşımıza gelen bir konudur. Lise döneminde veya sınavlara hazırlık dönemlerinde Temel Kavramlar bazı kitaplarda Sayılar olarak ele alınan konu içerisinde karşımıza gelmektedir. Ardışık Tek Sayıların Toplamı hesaplanırken hep aklımıza Ardışık Tek Sayıların Kısa Yoldan Toplamı ile alakalı bir formül var mıdır? diye aklımıza bir soru gelmiştir. Bu dersimizde Ardışık Tek Sayıların Toplamı Formülü ve bu formülün ispatını sizlere anlatmaya çalışacağız. Ardışık Çift Sayıların Toplamı formülünü de ek olarak öğrenmenizde fayda var.

Ardışık Tek Sayılar Toplamı Formülü : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + &#; + (2n &#; 1) = n²

Formülde sonda yer alan sayıyı (2n &#; 1) şeklinde ele aldığımıza dikkat edelim.

Örnek #1:

1 + 3 + 5 + 7 &#; + 25 toplamı kaçtır?

Çözüm :

Sorular soruda ardışık tek sayılar toplanmıştır. Burada genel terim (2n &#; 1) = 25 olur.

Buradan da n = 13 olarak bulunduğundan dolayı sayı dizisindeki sayıların toplamı n² = olacaktır.

Dikkat: Ardışık Tek Sayıların Toplamı Formülü 1&#;den başlayan sayı dizileri için kullanılabilir.

Hemen aklımıza eğer sayılar 1&#;den başlamaz ise sorularda bu formülü nasıl kullanacağız? sorusu gelmiş olabilir. Korkmanıza gerek yok.

Eğer 1&#;den başlamayan ardışık tek sayılar toplamı şeklinde sorular karşımıza gelirse 1&#;den başlıyormuş gibi hesaplayıp aradaki farkı çıkararak cevabı elde edeceğiz.

Örnek #2:

9 + 11 + 13 + 15 + &#; + 49 toplamı kaçtır?

Çözüm :

9 + 11 + 13 + &#; + 49 toplamını elde etmek için;

İlk olarak 1&#;den 49&#;a kadar olan tek sayıların toplamını n² formülüyle buluruz.

2n &#; 1 = 49 ⇒ n = 25 ⇒ n² = olur.

Ardından 1&#;den 7&#;ye kadar olan sayıların toplamını n² formülüyle buluruz.

1&#;den 49&#;a kadar olan tek sayıların toplamından, 1&#;den 7&#;ye kadar olan tek sayıların toplamını çıkarırız.

2n &#; 1 = 7 ⇒ n = 4 ⇒ n² = 16 olur.

Sonuç olarak &#; 16 işleminden cevabı olarak elde ediyoruz.

Örnek #3:

1 + 3 + 5 + 7 &#; + 99 toplamı kaçtır?

Çözüm :

Dikkat edersek ardışık tek sayıların toplanması durumu vardır.

Burada genel terim (2n &#; 1) = 99 olur.

Denklem çözme gerçekleşirse n = 50 olarak bulunur.

Sayı dizisindeki sayıların toplamı n² = olacaktır.

Sayılar Konusu Video Derslerini izleyerek eksikliklerinizi kapatabilirsiniz.

Ardışık tek tam sayılar neler?

Ardışık tek tam sayılar neler?

Matematiğin neredeyse tüm konularında olduğu gibi ardışık tek tam sayıların toplamının bulunmasını hususunda da bir formül bulunmaktadır. Peki, ardışık tek tam sayıların toplamının formülü nedir? Ardışık tek tam sayılar nasıl yazılır? İşte tüm detaylar

Ardışık Sayılar Nedir?

Ardışık tam sayılar; ardışık çift tam sayılar ve ardışık tek tam sayılar olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Şimdi gelin bu yazının konusu olan ardışık tek tam sayılar nelerdir sorusuna birlikte cevap arayalım.

Ardışık Tek Tam Sayılar Nelerdir?

Ardışık tek sayılar; art arda sıralanan tek sayılardan oluşlar ve bu sayıların arasındaki ortak fark 2dir. Ardışık tek tam sayılar n, n+2, n+4, n+6, n+8 şeklinde sembollerle ifade edilmektedir.

Peki, ardışık tek tam sayılar nasıl yazılır? Ardışık tek tam sayılar pozitif yönde 1,3,5, n+2 şeklinde ilerlerken; negatif yönde ise -1,-3,-5, n-2 şeklinde ilerlerler.

Örnek:

1, 3, 5, 7, 9, 11, n+2

97, 99, , , n+2

-1, -3, -5, -9, n-2

, , , , n-2

Ardışık Tek Tam Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Konuyla ilgili araştırmalar yapan öğrencilerin ardışık tek tam sayılar hakkında cevabını en çok merak ettiği soru belki de ardışık tek tam sayıların toplamı formülü nedir sorusudur.

Ardışık tek tam sayıların 1 ile başlaması halinde kullanılan formül ise şu şekildedir:

Örnek Soru: 1den 99a kadar olan ardışık tek tam sayıların toplamı nedir?

1+3+5+7++99= ?

Çözüm:

İlk olarak n değerini bulmak için formülümüzü yazıyoruz.

2n-1= 99

2n=

n= 50

İkinci aşamada bulduğumuz nyi kendisiyle çarpıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz.

n * n= ?

50 *50 =

Ardışık sayıların toplamı nasıl bulunur? Ardışık sayılar toplamı form&#;l&#; ve &#;rnekleri ile konu anlatımı

Haberin Devamı

Ardışık sayılar tek ve çift olarak belirtilmektedir. Durum böyle olunca da sayının niteliğine göre ardışık sayıların toplama formülü kullanılarak toplamını bulma işlemi gerçekleştirilmektedir. Bu işlemin gerçekleştirilmesi noktasında formüllerin önemli katkısının varlığı söz konusudur. Çünkü bu formüller sayesinde ardışık sayıların toplamı kolaylıkla bulunabilmektedir.

Bu doğrultuda ardışık sayıların toplamı nasıl bulunur sorusunun yanıtı, formüllerle bulunur olmaktadır. Çünkü formüller sayesinde ardışık sayıların tek ve ya çift olması durumunda uygun formül kullanılarak kolaylıkla sonuca ulaşma durumu söz konusu hale gelebilmektedir.

Ardışık Sayılar Toplamı Formülü ve Örnekleri İle Konu Anlatımı

Konu ardışık sayılar olduğunda sayının sahip olduğu özelliğe göre formüllerden yararlanılarak toplama işlemi yapılmaktadır. Bu noktada konun anlaşılabilir olması önemlidir. Bunun sağlanabilmesi için ise ardışık sayıya göre formüllerden bahsedilmesi ve örneklerin verilmesi son derece büyük bir yarar sağlayacaktır. Bu doğrultuda ardışık çift sayıların toplamı formülü hakkında bilgi verilmesi gerekliliği söz konusudur.

Buna göre ardışık çift sayıların toplam formülü hesaplamak için toplamı verilmiş durumda olan sayıların en küçük doğal sayı olan 2 sayısından başlamak suretiyle 2, 4, 6, 8 şeklinde devam ederek ilerlemesi gerekliliği söz konusudur. Buna göre ardışık çift sayılar:

Haberin Devamı

2+4+6+8++2n = n.(n+1) formülünden yararlanılarak hesaplanmaktadır.

Konu ardışık sayılar olduğunda tek ardışık sayıların da varlığı söz konusudur. Bu noktada ardışık sayıların toplamı formülünden bahsedilmesi gerektiğinde ardışık tek sayı formülü kullanımının gerekliliği söz konusu olmaktadır. Bu durum neticesinde ardışık tek sayıların toplam formülü için çift sayılarda olduğu gibi en küçük doğal tek sayı olma özelliğine sahip durumdaki 1 sayısından başlanması suretiyle 1, 3, 5, 7, 9 şeklinde devam edilerek sonrasında gelmesi gerekliliği söz konusudur. Buna göre ardışık tek sayılar toplamı formülü şu şekildedir:

1+3+5+7++(2n-1) =n.n= n kare bu formülden yararlanılarak ardışık tek sayıların toplamı kolaylıkla bulunabilir bir hal almaktadır. Bu noktada yapılacak olan işleme göre uygun olan formülün iyi bilinmesi ve bu doğrultuda istenilen işlemin yapılabilir olması mümkün hale gelmektedir. Bu noktada formüllerin önemi son derece büyük olmaktadır. Bu bakımdan ardışık sayılarla alakalı olarak öncelikli olan konu formüllerin öğrenilmesi olmaktadır.

Haberin Devamı

Ardışık sayılar toplamı uygulanan formüller kullanılarak yapılabilir hale gelmektedir. Bu bakımdan sizde verilen formülleri kullanarak ardışık sayılar toplamı işlemlerini yaparak kendinizi önemli ölçüde geliştirebilir ve konu ile ilgili olarak karşınıza çıkabilecek soruları kolaylıkla yanıtlayabilirsiniz. Çünkü ardışık sayıları toplamı konusunun temelini formüller oluşturmaktadır.

Ardışık Sayılar

SORU 1:

\( -1 - 2 - 3 - \ldots - 49 \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Tüm işlemi \( -1 \) parantezine alalım.

\( -(1 + 2 + 3 + \ldots + 49) \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = -(49 + 1) \cdot \dfrac{49}{2} \)

\( = \cdot \dfrac{49}{2} = \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar ve \( a \lt b \lt c \) olduğuna göre,

\( \dfrac{(b - a)(c - a)}{c - b} \) ifadesinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar olduğu için, aralarında aşağıdaki eşitlikleri kurabiliriz.

\( b = a + 1, \quad c = b + 1 = a + 2 \)

Sorulan ifadedeki tüm değişkenleri \( a \) cinsinden yazalım.

\( \dfrac{(a + 1 - a)(a + 2 - a)}{a + 2 - (a + 1)} \)

\( = \dfrac{1 \cdot 2}{1} = 2 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( a \) ve \( b \) ardışık iki tek sayı ve \( a \lt b \) olmak üzere,

\( 2a + 3b = 41 \) ise, \( a + b \) toplamının değerini bulalım.

Çözümü Göster

İki sayı ardışık tek sayılar olduğu için aralarındaki fark 2'dir. \( a \lt b \) olduğuna göre, \( b = a + 2 \) yazabiliriz.

\( 2a + 3b = 41 \)

\( 2a + 3(a + 2) = 41 \)

\( 5a + 6 = 41 \)

\( a = 7, \quad b = 9 \quad a + b = 16 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

Üçün katı ardışık dört tam sayıdan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 39 ise, bu sayıların toplamını bulalım.

Çözümü Göster

Sayılara \( a \), \( a + 3 \), \( a + 6 \) ve \( a + 9 \) diyelim.

En küçük ve en büyük sayıların toplamı:

\( a + (a + 9) = 39 \)

\( a = 15 \)

Bu durumda dört sayının toplamı aşağıdaki gibi olur:

\( 15 + 18 + 21 + 24 = 78 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( 2a + 5 \) ve \( 4a - 11 \) birer ardışık tek sayı ise, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamını bulalım.

Çözümü Göster

Sayılardan hangisinin büyük olduğu verilmediği için, ikisinin de diğerinden büyük olduğu durumu dikkate almamız gerekir.

\( 2a + 5 \lt 4a - 11 \) ise,

\( 2a + 5 + 2 = 4a - 11 \)

\( a = 9 \)

\( 2a + 5 \gt 4a - 11 \) ise,

\( 2a + 5 = 4a - 11 + 2 \)

\( a = 7 \)

\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı bu durumda \( 9 + 7 = 16 \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

Ardışık 9 doğal sayının toplamı 99 ise, bu sayılardan en büyüğünü bulalım.

Çözümü Göster

Terim sayısı \( = 9 \)

İlk terim \( = a \)

Son terim \( = a + 8 \)

Terimler toplamı \( = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

Terimler toplamı \( = (a + a + 8) \cdot \dfrac{9}{2} \)

\( = 9(a + 4) = 99 \)

\( a = 7 \)

En küçük sayı \( a = 7 \) olduğuna göre, en büyük sayı \( a + 8 = 15 \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

Ardışık 7 doğal sayının toplamı \( A \) ise, bu sayılardan ortanca olanının \( A \) cinsinden değerini bulalım.

Çözümü Göster

Terim sayısı \( = 7 \)

İlk terim \( = a \)

Son terim \( = a + 6 \)

Ortanca terim \( = \dfrac{a + a + 6}{2} = a + 3 \)

Terimler toplamı \( = A = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

Terimler toplamı \( = (a + a + 6) \cdot \dfrac{7}{2} \)

\( = 7(a + 3) = A \)

Buna göre, ortanca terim olan \( a + 3 = \dfrac{A}{7} \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + + 17 \cdot 19 \) ise,

\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + + 18 \cdot 19 \) toplamının değerini \( A \) cinsinden bulalım.

Çözümü Göster

\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + + 17 \cdot 19 \)

\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + + 18 \cdot 19 \)

İkinci ifadeden birinciyi çıkaralım.

\( B - A = 3 + 5 + 7 + + 19 \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ardışık sayıların toplamını bulalım.

Terim sayısı \( = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

Terim sayısı \( = \dfrac{19 - 3}{2} + 1 = 9 \)

İlk terim \( = 3 \)

Son terim \( = 19 \)

Terimler toplamı \( = (3 + 19) \cdot \dfrac{9}{2} = 99 \)

\( B - A = 99 \)

\( B = A + 99 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

Başlangıçta sayfa olan bir kitabın herhangi bir bölümünden ardışık 4 yaprak koparılıyor.

Geriye kalan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamı \( \cdot 62 \) olduğuna göre, koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının en küçüğü kaçtır?

Çözümü Göster

İlk durumdaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.

Sayfa sayısı \( = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)

\( = \dfrac{ \cdot }{2} = \cdot 62 \)

Koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.

\( \cdot 62 - \cdot 62 = ( - ) \cdot 62 \)

\( = 62 \cdot 6 = \)

Koparılan 4 sayfadaki 8 sayfanın numaraları \( a, a + 1, a + 2 , a + 3, a + 4, a + 5, a + 6, a + 7 \) şeklindedir.

Bu sayıların toplamı 'dir.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( (a + 7 + a) \cdot \dfrac{8}{2} = \)

\( (2a + 7) \cdot 4 = \)

\( 2a + 7 = 93 \)

\( a = 43 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

5 tane iki basamaklı ardışık doğal sayının toplamı bir sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.

Buna göre ardışık sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözümü Göster

5 iki basamaklı ardışık sayıyı yazalım.

\( (ab), (ab) + 1, \ldots, (ab) + 4 \)

Bu sayıların toplamı bir \( x \) sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.

\( 5(ab) + 10 = x^3 \)

\( 5(ab) = x^3 - 10 \)

Bir sayma sayısının üçüncü kuvveti aşağıdakilerden biri olabilir.

1, 8, 27, 64, , , ,

Bu sayıların 10 eksiği aşağıdakilerden biri olabilir.

-9, -2, 17, 54, , , ,

İki basamaklı ardışık 5 sayı en küçük arası olabilir, bu durumda toplamları 60 olur.

İki basamaklı ardışık 5 sayı en büyük arası olabilir, bu durumda toplamları olur.

Buna göre \( x^3 - 10 \) ifadesi 60 ile arasında ve 5'in katı bir sayı olmalıdır.

Yukarıdaki listede bu koşulu sağlayan sayı 'tir.

\( 5(ab) = x^3 - 10 = \)

\( (ab) = 23 \)

Sayıların en büyüğü \( (ab) + 4 = 27 \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Ceyda sınava hazırlanmak için ilk gün 10 soru çözmüştür, sonraki günlerde her gün soru sayısını birer artırarak devam etmiştir.

Buna göre Ceyda sorusunu kaçıncı günde çözer?

Çözümü Göster

Ceyda'nın çözdüğü soru sayısı 1. gün 10, 2. gün 11, 3. gün 12, \( n \). gün \( n + 9 \) olur.

Ceyda'nın \( n \) günde çözeceği toplam soru sayısını bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (10 + n + 9) \cdot \dfrac{n}{2} \)

\( = \dfrac{(n + 19) \cdot n}{2} \)

Ceyda'nın hangi gün soruyu çözdüğünü bulmak için \( n \)'ye değer verelim.

\( n = 10 \Longrightarrow \dfrac{(10 + 19) \cdot 10}{2} = \)

\( n = 11 \Longrightarrow \dfrac{(11 + 19) \cdot 11}{2} = \)

\( n = 12 \Longrightarrow \dfrac{(12 + 19) \cdot 12}{2} = \)

\( n = 13 \Longrightarrow \dfrac{(13 + 19) \cdot 13}{2} = \)

Buna göre Ceyda sorusunu günde çözer.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Kareli bir kağıdın 1. satırında 1 kare, 2. satırında 2 kare olacak şekilde her satırında satır numarası kadar kare boyanacaktır.

Buna göre 63 karenin boyanması için en az kaç satırda bu işlem yapılmalıdır?

Çözümü Göster

1. satırda 1, 2. satırda 2, \( n \). satırda \( n \) kare boyanıyor.

Buna göre boyanan toplam kare sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)

Bu sayının en az 63 olacağı \( n \) değerini bulalım.

\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \ge 63 \)

\( n \cdot (n + 1) \ge \)

\( n = 10 \Longrightarrow 10 \cdot (10 + 1) = \not\ge \)

\( n = 11 \Longrightarrow 11 \cdot (11 + 1) = \ge \)

Buna göre en az 11 satır boyanmalıdır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

İki basamaklı tek sayıların toplamı \( a \), iki basamaklı çift sayıların toplamı \( b \) ise \( a - b \) farkı kaçtır?

Çözümü Göster

İki basamaklı tek sayıların toplamını bulalım.

\( 11, 13, 15, \ldots, 99 \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

\( a = (99 + 11) \cdot \dfrac{\frac{99 - 11}{2} + 1}{2} \)

\( = \cdot \dfrac{45}{2} = 55 \cdot 45 \)

Aynı şekilde iki basamaklı çift sayıların toplamını bulalım.

\( 10, 12, 14, \ldots, 98 \)

\( b = (98 + 10) \cdot \dfrac{\frac{98 - 10}{2} + 1}{2} \)

\( = \cdot \dfrac{45}{2} = 54 \cdot 45 \)

İki sayının farkını bulalım.

\( a - b = 55 \cdot 45 - 54 \cdot 45 \)

\( = 45 \cdot (55 - 54) = 45 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( 2 - 5 + 8 - 11 + \ldots + - + \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Terimleri ikişerli grupladığımızda son terim hariç her çıkarma işleminin sonucunun -3 olduğunu görürüz.

\( (2 - 5) + (8 - 11) + \ldots + ( - ) + \)

\( = (-3) + (-3) + \ldots + (-3) + \)

2'den 'e kadar 3'er 3'er saydığımızda kaç sayı olduğunu bulalım.

Terim sayısı \( = \dfrac{ - 2}{3} + 1 = 38 \)

Terimler ikişerli toplandığı için terim sayısının yarısı kadar -3 vardır.

\( = \dfrac{38}{2} \cdot (-3) + \)

\( + = 59 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( A = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + \ldots + 16 \cdot 19 \)

toplamında her terimin ilk çarpanı 3 artırılıp ikinci çarpanı 2 azaltılırsa toplam nasıl değişir?

Çözümü Göster

Yeni oluşan sayıya \( B \) diyelim.

\( B = 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 7 \cdot 5 + \ldots + 19 \cdot 17 \)

\( A \) ve \( B \) ifadelerinin terimlerini birebir karşılaştırırsak, \( A \) sayısında birinci terimde 2 tane 5 varken \( B \) sayısında 3 tane 5 vardır. \( A \) sayısında ikinci terimde 3 tane 6 varken \( B \) sayısında 4 tane 6 vardır.

Buna göre iki ifadenin farkını aldığımızda ardışık sayıların toplamını elde ederiz.

\( B - A = 5 + 6 + 7 + \ldots + 19 \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

\( B - A = (19 + 5) \cdot \dfrac{15}{2} \)

\( = 24 \cdot \dfrac{15}{2} = \)

Buna göre toplam artar.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( 1 + 2 + \ldots + 99 \) toplamının sonucu sayıların ortanca teriminin kaç katıdır?

Çözümü Göster

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (1 + 99) \cdot \dfrac{99}{2} = 50 \cdot 99 \)

Ortanca terimi bulalım.

\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)

\( = \dfrac{1 + 99}{2} = 50 \)

Buna göre terimler toplamı ortanca terimin 99 katıdır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( A = 4 + 9 + 14 + \ldots + 99 \)

\( B = 4 + 8 + 12 + \ldots + 80 \)

olduğuna göre \( A - B \) kaçtır?

Çözümü Göster

İki ifadenin farkını alalım.

\( A - B = (4 - 4) + (9 - 8) + (14 - 12) + \ldots + (99 - 80) \)

\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 19 \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (19 + 0) \cdot \dfrac{20}{2} \)

\( = 19 \cdot 10 = \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Bir yönetici ofisindeki çalışanlara 1. çalışana 2 adet, 2. çalışana 4 adet, 3. çalışana 6 adet ve \( n \). çalışana \( 2n \) adet olacak şekilde kalem dağıtıyor.

Bu dağıtım işlemi sonucunda tüm kalemler bitmiştir.

Yönetici daha sonra tüm kalemleri toplayıp bu sefer herkese eşit sayıda olacak şekilde dağıtmıştır. Bu durumda \( n \). çalışanın aldığı kalem sayısı ilk durumdan 10 eksik olduğuna göre, toplam dağıtılan kalem sayısı kaçtır?

Çözümü Göster

İlk seferde dağıtılan kalem sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (2 + 2n) \cdot \dfrac{n}{2} = n \cdot (n + 1) \)

Kalem sayısını toplam kişi sayısına bölelim.

\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{n} = n + 1 \)

Bu sayı aynı zamanda ilk durumda \( n \). kişinin aldığı kalem sayısının 10 eksiğine eşittir.

\( n + 1 = 2n - 10 \)

\( n = 11 \)

Buna göre toplam kalem sayısı \( 11 \cdot 12 = \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Bir gezi grubundaki 17 öğrencinin 9'unun yaşlarının ardışık çift sayı ve diğer 9'unun yaşlarının aynı olduğu biliniyor. Bu öğrencilerin yaşlarının aritmetik ortalaması 17 olduğuna göre, doğum tarihleri aynı olan öğrencilerin yaşı en çok kaçtır?

Çözümü Göster

Yaşları ardışık çift sayı olan öğrencilerin yaşlarına değer verelim.

\( a , a + 2 , \ldots , a + 16 \)

Bu öğrencilerin yaşları toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (a + a + 16) \cdot \dfrac{9}{2} = 9a + 72 \)

Yaşları aynı olan öğrencilerin yaşları toplamını bulalım.

Bir öğrencinin yaşına \( b \) dersek yaşları toplamı \( 9b \) olur.

Tüm öğrencilerin yaş ortalaması 17'dir.

\( \dfrac{9a + 72 + 9b}{18} = 17 \)

\( 9a + 72 + 9b = \)

\( a + b = 26 \)

\( b \) en büyük değeri olan 25'i aldığında \( a = 1 \) olur, ancak bu durumda ilk gruptaki öğrencilerin yaşları çift sayı olmaz.

Bu yüzden \( b = 24 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Kayra'nın oturduğu binada zemin katta 3 daire, sonraki her katta 4'er daire vardır. Daire numaraları zeminden itibaren 1 ile başlayan ardışık numaralardır. Binadaki daire numaralarının aritmetik ortalaması 38'dir.

Buna göre, Kayra zemin kat dahil olmak üzere kaç katlı bir binada oturmaktadır?

Çözümü Göster

Binadaki zemin kat dahil kat sayısına \( k \) dersek toplam daire sayısı \( 3 + 4(k - 1) = 4k - 1 \) olur.

Daire numaralarının toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (1 + 4k - 1) \cdot \dfrac{4k - 1}{2} \)

\( = 2k \cdot (4k - 1) \)

Bu toplamın daire sayısına bölümü bize aritmetik ortalamayı verir.

\( \dfrac{2k \cdot (4k - 1)}{4k - 1} = 38 \)

\( k = 19 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Aldığı şiir kitabını okumaya başlayan Elif 1. şiiri okuyup 2. şiiri atlıyor. Sonra 3. ve 4. şiirleri okuyup, 5. ve 6. şiirleri atlıyor. Daha sonra 7., 8., 9. şiirleri okuyup , , şiirleri atlıyor. Bu şekilde her seferinde okunan ve atlanan şiir sayısı 1 artarak devam ediyor.

Son şiiri de okuyup kitabı bitiren Elif'in okuduğu şiir sayısı atladığı şiir sayısından 17 fazladır. Buna göre bu kitapta toplam kaç şiir vardır?

Çözümü Göster

Elif 1 şiir okuyor, 1 şiir atlıyor, 2 şiir okuyor, 2 şiir atlıyor, , \( n \) şiir okuyor, \( n \) şiir atlıyor, en sonunda \( n + 1 \) şiir okuyup kitabı bitiriyor.

Elif'in okuduğu şiir sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( 1 + 2 + \ldots + (n + 1) = \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} \)

Elif'in atladığı şiir sayısını da aynı formülle bulalım.

\( 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)

Elif'in okuduğu ve atladığı şiir sayılarının farkını bulalım.

\( \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} - \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} = 17 \)

\( \dfrac{n^2 + 3n + 2 - n^2 - n}{2} = 17 \)

\( n + 1 = 17 \Longrightarrow n = 16 \)

Elif'in okuduğu ve atladığı toplam şiir sayısını bulalım.

\( \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} = \dfrac{17 \cdot 18}{2} + \dfrac{16 \cdot 17}{2} \)

\( = \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

11 ardışık tam sayının toplamı \( A \)'dır. Sayılar küçükten büyüğe sıralandığında altıncı sıradaki sayının \( A \) cinsinden değerini bulunuz.

Çözümü Göster

Birinci sayıya \( b \) diyelim. Bu durumda ikinci sayı \( b + 1 \) olur.

Ardışık sayıların toplamını alalım.

\( b + (b + 1) + (b + 2) + \ldots + (b + 10) = A \)

Sabit sayıların toplamı 1'den 10'a kadar olan ardışık sayıların toplamıdır.

1'den n'ye kadar olan doğal sayıların toplamı: \( \frac{n(n + 1)}{2} \)

\( 11b + \dfrac{10 \cdot 11}{2} = A \)

\( 11b + 55 = A \)

Altıncı sıradaki sayı \( b + 5 \) olur.

\( 11(b + 5) = A \)

\( b + 5 = \dfrac{A}{11} \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Ardışık Tek Tam Sayıların Toplamı 1+3+5+7+&#;+(2n-1)=n*n=n2

Ardışık sayılar, 1 den başlayarak düzenli aralıklarla artan tek tam sayıların toplamı hesap makinesi. Ardışık sayılar, tek sayılar, çift sayılar toplamı üzerine hazırladığımız script yazılımları ile online matematik işlemlerini yapabilirsiniz. Hazırladığımız scriptin en önemli özelliği işlemleri yapılış sırasına göre aşama aşama matetiksel olarak göstermesidir. Umarız faydalı bir çalışma olmuştur.

Ardışık tek tam sayılar konu anlatımı

Ardışık sayı nedir? Belli bir kurala göre bir birini takip eden sayı gruplarına ardışık sayılar denir.
Ardışık tam doğal sayılar; …,-5,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Ardışık tek tam sayılar : …, -9, -7, -5,-3,-1, 0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, … gibi sayı dizisidir.

Ardışık Tek Sayılar Toplamı Formülü

1,3,5,7,9 şeklinde 1 sayısından başlayarak n sayısına kadar sıralı tek sayıların toplamı formülü aşağıdaki gibidir.

1+3+5+7+&#;+(2n-1)=n*n=n2

Ardışık Tek Tam Sayılar Toplamı Formülü

Çözümlü Soru

Soru : 1 den 99 &#;a kadar olan ardışık tek tam sayıların toplamı kaçtır?
1 + 3 + 5 + 7 &#;+ 99 = ?
Cevap : Önce formülümüzü yani ardışık tek sayılar formülünü yazalım.
1+3+5+7+&#;+(2n-1)= n * n

şimdi n değerini bulalım.
2n — 1 = 99
2n =
n = 50
İkinci aşama.
n * n = ?
50 * 50 =

Not : Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir. n ifadesi sorudaki çift ve tek sayı ifadesine göre değer alacaktır.
Sayfamızda yer alan ardışık çift sayılar toplama hesap makinesi kullanarak yaptığımız işlemlerin sonuçlarının doğruluğunu kontrol edebilirsiniz.

Ardışık Sayılar Tek Sayılar Toplama

Ardışık Tek Tam Sayıların Toplamı 1+3+5+7+&#;+(2n-1)=n*n=n2